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运动控制基础-简单力学

2018-01-19 16:33:51


运动控制基础-简单力学

这里我们给出运动控制需要的一些力学基础公式,非常简单,但在运动控制中会经常使用。

根据牛顿力学原理,合理设计一个机械结构,并使用合适的动力驱动其按照我们的设想进行工作,是工程学的一个重要工作。而运动控制,顾名思义,就是控制该机械结构的运动方式,使其尽量符合我们的期望。

稍有力学常识,就可以知道运动控制期望控制的变量如下:

  • 位移

  • 速度

  • 加速度

这涉及下面几个经典力学的简单公式:

F = m*a

v = a*t

s = v * t

可以看到,要完成一个运动控制目标,不论你是期望得到那个结果,我们通常可使用的方式,是提供一个合适的力。

力矩

但是,机械工程中很少使用力,大多时候使用的是力矩。这是因为我们提供的驱动源,通常都是一个旋转机构,比如电机。而对于旋转驱动器,其提供的力矩我们称为转矩。

力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩的单位是牛顿-米。力矩希腊字母是。力矩的概念,起源于阿基米德对杠杆的研究。转动力矩又称为转矩或扭矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力 ,而扭转则涉及到力矩。力矩等于径向矢量与作用力的叉积。

下面的图片来自百度词条,可以很好地解释力矩是什么:

图片关键词

因为图中重力与径向矢量(图中就是连杆)垂直,所以可以轻松计算得到重力矩:

I = G*l/2

转动惯量

如果我们只知道提供的转矩,那么如何计算我们得到的加速度呢。这里需要清楚的是,因为提供的是转矩,那么我们提供的运动也就是旋转运动,而不是直线运动,所以我们计算得到的就是角加速度,角速度和角位移。这也是在机械工程,和我们在课本中学习的力学有所区别的地方。同时,旋转运动比直线运动要复杂一点,这也是很多运动控制入门者要面对的一个台阶。为了计算旋转运动,我们引入转动惯量的概念。转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度,用字母IJ表示。在经典力学中,转动惯量(又称质量惯性矩,简称惯距)通常以IJ表示,单位为千克米平方(kg·m²)。对于一个质点, I=m*r^2 ,其中 m 是其质量,r 是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量,可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性,用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。也就是说,对于旋转动力学,我们有下面的(定轴转动的)刚体动力学公式:

\tau = I * \alpha

\omega = \alpha*t

\varphi = \omega *t

其中, \varphi 表示旋转角位移, \omega 表示角速度, \alpha 表示角加速度

可以看到,在形式上和直线运动的力学公式非常相似,就是使用两个新的概念:转矩和转动惯量。而对于一个机械结构绕给定轴的转动惯量,我们通常使用估算法,通常将一个结构分解为下面几种简单的结构,如何将各部分的转动惯量相加得到总的转动惯量:

细杆

当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时:

I=m*L^2/2

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:

I=m*L^2/3

其中:m是杆的质量,L是杆的长度。

圆柱

当回转轴是圆柱体轴线时:

I=m*r^2/2

其中:m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。

细圆环

当回转轴通过环心且与环面垂直时:

I=m*R^2

当回转轴通过环边缘且与环面垂直时:

I=2*m*R^2

沿环的某一直径时:

I=m*R^2/2

其中:R为圆环半径。

薄圆盘

当回转轴通过中心与盘面垂直时:

I=m*R^2/2

当回转轴通过边缘与盘面垂直时:

I=3*m*R^2/2

其中:R为其半径。

空心圆柱

当回转轴为对称轴时:

I=m*(R_1^2+R_2^2)/2

(注意这里是加号不是减号 ,容易记错。可以代入的极端情况进行验证,此时圆柱退化为柱面。)其中:R1R2分别为其内外半径。

球壳

当回转轴为中心轴时:

I=2*m*R^2/3

当回转轴为球壳的切线时:

I=5*m*R^2/3

其中:R为球壳半径。

实心球体

当回转轴为球体的中心轴时:

I=2*m*R^2/5

当回转轴为球体的切线时:

I=7*m*R^2/5

其中:R为球壳半径。

立方体

当回转轴为其中心轴时:

I=m*L^2/6

当回转轴为其棱边时:

I=2*m*L^2/3

当回转轴为其体对角线时:

I=3*m*L^2/16

其中:L为立方体边长。

长方体

I=m*(L_1^2+L_2^2)/12

当回转轴为其中心轴时,式中 L_1L_2 是与转轴垂直的长方形的两条边长。